《算數書》、《九章算術》提出了若干多面體體積公式。其中以長方體,塹 (小老師 堵(沿長方體相對兩稜斜解,得二塹堵),陽馬(沿塹堵的一頂點與相對一稜斜解,得一陽馬,一鱉 (小老師 臑),鱉臑 (小老師最為重要,Vabh 分別是它們的體積,寬,長,高。《算數書》、《九章算術》時代用驗法推導多面體的體積公式。這裡要用到長、寬、高均1尺的正方體、塹堵、陽馬,稱為三品(如圖1)。以芻 (小老師 甍(屋脊形草垛)為例。取底面長3尺,寬2尺,上長1尺,高1尺的標準芻甍,將它分解為2個塹堵,4個陽馬,如圖2-1。構造這樣一個長方體:長是芻甍 (小老師 底長的2倍加上長,即7尺,寬為芻甍底之寬,即2尺,高為芻甍之高,即1尺。它可分解為12個塹堵,24個陽馬。因此,芻甍中的塹堵、陽馬都是1個變成了6個,如圖2-2。而它們可以重新併合成6個芻甍。顯然,1個芻甍的體積是這個長方體體積的。於是推出芻甍體積,其中分別是芻甍的下長、上長。這個公式及用驗法推導的其它多面體公式都是正確的。然而棊驗法只適應於可分解為三品的標準多面體,對一般尺寸的多面體則無法應用。劉徽在證明了劉徽原理,進而證明了陽馬、鱉臑體積公式之後,將多面體分解為有限個長方體、塹堵、陽馬、鱉臑,如圖3,求其體積之和,嚴格證明了多面體的體積公式。比如,將芻甍分解為2個塹堵,4個陽馬,如圖4,求其體積之和,給出了另一體積公式。《九章算術》還給出、劉徽證明了羨 (小老師除(三面為等腰梯形而有兩面互相垂直,兩側面為三角形的楔形體,即隧道,如圖5)的體積公式,其中分別為上廣、下廣、末廣、長與高。