《算數書》、《九章算術》提出了若干多面體體積公式。其中以長方體，塹 （小老師） 堵（沿長方體相對兩稜斜解，得二塹堵），陽馬（沿塹堵的一頂點與相對一稜斜解，得一陽馬，一鱉 （小老師） 臑），鱉臑 （小老師） 最為重要，V，a，b，h 分別是它們的體積，寬，長，高。《算數書》、《九章算術》時代用驗法推導多面體的體積公式。這裡要用到長、寬、高均1尺的正方體、塹堵、陽馬，稱為三品（如圖1）。以芻 （小老師） 甍（屋脊形草垛）為例。取底面長3尺，寬2尺，上長1尺，高1尺的標準芻甍，將它分解為2個塹堵，4個陽馬，如圖2-1。構造這樣一個長方體：長是芻甍 （小老師） 底長的2倍加上長，即7尺，寬為芻甍底之寬，即2尺，高為芻甍之高，即1尺。它可分解為12個塹堵，24個陽馬。因此，芻甍中的塹堵、陽馬都是1個變成了6個，如圖2-2。而它們可以重新併合成6個芻甍。顯然，1個芻甍的體積是這個長方體體積的。於是推出芻甍體積，其中分別是芻甍的下長、上長。這個公式及用驗法推導的其它多面體公式都是正確的。然而棊驗法只適應於可分解為三品的標準多面體，對一般尺寸的多面體則無法應用。劉徽在證明了劉徽原理，進而證明了陽馬、鱉臑體積公式之後，將多面體分解為有限個長方體、塹堵、陽馬、鱉臑，如圖3，求其體積之和，嚴格證明了多面體的體積公式。比如，將芻甍分解為2個塹堵，4個陽馬，如圖4，求其體積之和，給出了另一體積公式。《九章算術》還給出、劉徽證明了羨 （小老師） 除（三面為等腰梯形而有兩面互相垂直，兩側面為三角形的楔形體，即隧道，如圖5）的體積公式，其中分別為上廣、下廣、末廣、長與高。