李冶
《測圓海鏡》12卷,1248年元代李冶在洞淵九容基礎上演繹而成,集中國傳統數學勾股容圓知識之大成。卷一列出圓城圖式,識別雜記,是全書的理論基礎。圓城圖式是一個圓與15個勾股形的關係,全書170個問題都圍繞著此圖式展開,用天、地、乾、坤等漢字表示點,是個創舉;識別雜記提出692條公式,除8條外都是正確的。卷二首先提出了本書所有問題的總假設,「所有測望雜法,一一設問如後」,共設計了170個問題,216種方法,都是就這個圓的直徑提問,求解,因而答案都相同。卷二前10問發展了《九章算術》勾股容圓問,提出了10種勾股形與圓的關係公式。全書有148問,182種方法是以天元術列出一元方程以求解,列出一次方程31個,二次方程106個,三次方程24個,四次方程20個,六次方程1個,是為現今瞭解金、元兩代天元術成就的主要的也是最早的著作。李冶自序駁斥了視數學為「九九賤技」的世俗看法,認為「由技兼於事」,聖人推崇的禮、樂「不免為一技」,「由技進乎道」,工匠的斤、輪也是聖人所讚賞的。指出:「謂數為難窮,斯可;謂數為不可窮,斯不可。」研究數學,應當「推自然之理,以明自然之數」。