祖之原理就是祖之開立圓術所說的「夫疊成立積，緣冪勢既同，則積不容異」，是說同底等高的兩組立體，若等高處的截面積相等，則其體積必相等，西方稱為卡瓦列利原理。實際上，《九章算術》中許多方體與圓體都是成對出現，說明是通過比較其底面積由前者推導後者的。劉徽認識到，不僅要比較底面積，而且必須比較任意等高處的截面積。他在羨除術注中提出「上連無成不方，故方錐與陽馬同實」，就是這個意思。基於這一認識，他發現《九章算術》開立圓術所使用的球體積公式是錯誤的，並設計了牟合方蓋，認為，（分別是牟合方蓋與球的體積）從而指出了解決球體積的正確途徑。這說明劉徽已經完全認識了祖之原理。然而，劉徽沒能求出牟合方蓋的體積，表示「以俟能言者」。這位能言者就是祖之。他按照劉徽的方法分割半徑為 r 的球的外切正方體，考慮其八分之一。牟合方蓋的部分稱為內，它與正方體之間的三部分稱為外三。他用勾股定理證明了外三任意處的截面積與長、寬、高均為 r 的倒陽馬同高處的截面積相等，由祖之原理證明了外三的體積與這個倒陽馬相等。內的體積為，那麼牟合方蓋的體積，於是球體積。