勾股容圓是《九章算術》中一個已知勾股形的勾、股，求其內切圓的直徑的問題。給出的公式是圓徑。劉徽用出入相補原理和衰分術兩種方法證明了這個公式，如圖。到宋、元時代，勾股容圓成為重要的研究專題，考慮了各種容圓情況，稱為「洞淵九容」。李冶在此基礎上繪出圓城圖式，討論了勾股形與圓的10種關係。
除上述者外還有：圓心在勾上而圓切於股、弦，稱為勾上容圓，圓徑；同樣，股上容圓，弦上容圓；圓心在勾股交點（垂足）而圓切於弦，稱為勾股上容圓，；圓切於勾及股、弦的延長線，稱為勾外容圓， ；同樣，股外容圓，弦外容圓；圓心在股的延長線上而圓切於勾、弦的延長線，稱為勾外容圓半， ；同樣，股外容圓半。清代李善蘭又補充了勾弦上容圓，股弦上容圓，弦外容圓半這3種。上述13種容圓徑的分子都是2ab，分母是勾、股、弦的所有可能的13種關係，南宋楊輝稱為「勾股生變十三名圖」。