將勾股定理進行恒等變換，可以用於解勾股形。《九章算術》提出了以下幾個類型：
已知勾與股弦差（和）求股、弦。《九章算術》應用了，趙爽、劉徽證明了下列公式：

以已知勾與股弦和求股為例說明趙爽、劉徽的證明。如圖 1，作以 c + b 邊長的正方形。在１所在的弦方 中除去 ，將1，2分別移至Ⅰ，Ⅱ處，則 變成了長為 ，寬為 b，面積為的長方形。因此，。
已知弦與勾股差求勾、股，《九章算術》使用了公式：

第二個等號後是趙爽、劉徽的簡化。他們的證明方法如下：將弦方分解成 4 個以 a，b 為勾、股的勾股形及1個以勾股差 b - a 的小正方形（稱為黃方）：。取2個弦方，將1個除去黃方，而將4個餘下的勾股形拼補到另一個弦方上，則成為１個以勾弦并 b - a 為邊長的大正方形，其面積為

 
於是 ，由
 
 

便證明了上述公式。劉徽還提出了與之對稱的已知弦與勾股和求勾、股的公式，以及與勾股差有關 的其他公式。
已知勾弦差、股弦差求勾、股、弦，《九章算術》使用而趙爽、劉徽證明了公式：



趙爽、劉徽指出，弦方可以分解為勾方與股矩，或股方與勾矩。自然，將勾矩旋轉180度，重疊在股矩上，其面積亦為。可是，它們在兩端處重合，卻未填滿中間以 a + b - c 邊長的小正方形。因此，

 
 
由  
 
 
 

證明了上述公式。
持竿出戶

這也是《九章算術》勾股章的一個題目：「今有戶不知高、廣，竿不知長短。橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出。問戶高、廣、邪各幾何？」《九章算術》的解法是：「從、橫不出相乘，倍而開方除之。所得，加從不出，即戶廣；加橫不出，即戶高；兩不出加之，得戶邪。」此即：

劉徽認為這裏以戶廣為勾，戶高為股，戶邪為弦，是一個已知股弦差、勾弦差求勾、股、弦的問題，應用了公式：

劉徽用出入相補原理證明了它的正確。
圖 1 由勾與股弦差求股、弦
圖 2 由弦與勾股差求勾、股

圖 3 由勾弦差、股弦差求勾、股、弦